章节目录

本系列从三维刚体的旋转运动学与惯量性质出发，逐步建立开链多体系统的递推动力学、碰撞几何检测与软接触凸优化模型，并对照 MuJoCo 源码将各模块串联成可运行的物理仿真内核。

三维旋转与姿态更新

从正交旋转矩阵与定轴转动分解推导 Rodrigues 公式，建立角速度、姿态指数更新与相对旋转的映射关系。

引入单位四元数与半角几何表示，推导四元数旋转复合、流形姿态积分与球面线性插值（Slerp）。

由质点系动能导出转动惯量矩阵、换轴与平行轴定理，并建立三维刚体的角动量与 Euler 转动动力学方程。

将平动与转动统一组装为六维空间速度与空间力，推导参考点变换算子、空间惯量矩阵与空间 Newton–Euler 方程。

沿父子运动学树递推连杆位姿，定义各类关节的运动子空间，并构造空间点速度与静力回传的雅可比矩阵。

由虚功原理导出广义坐标下的多体动力学方程，并以 Gauss 最小约束原理建立带约束加速度投影与软约束正则化。

推导递归 Newton–Euler 逆动力学（RNEA）、复合刚体质量矩阵装配（CRBA）与树稀疏消元求解算法。

梳理 MuJoCo 的完整仿真状态与前向流水线，连接执行器传动、平滑动力学、约束修正与时间积分。

从支持映射与 Minkowski 差集出发，逐步推导 GJK 最近点迭代、EPA 穿透深度扩张及接触几何标架生成。

将位置与接触几何误差转化为速度与加速度线性约束，完成 EFC 约束行装配与约束空间逆惯量映射。

建立二阶参考加速度与位置阻抗混合模型，解析 MuJoCo 的 solref、solimp 参数化及其软接触平衡响应。

推导凸二次规划的 Lagrange 对偶与 KKT 互补条件，将多点接触耦合统一归结为原始加速度与对偶力优化问题。

由最大耗散原理导出各向异性椭圆摩擦锥与多面体棱锥近似，推导切向二次约束子问题与软摩擦分区代价。

对比 PGS、CG 与阻尼 Newton 求解器的迭代路径，分析 Euler、RK4 与速度隐式积分的稳定性并完成接触闭环仿真。