凸体距离与接触几何

让两个物体逐渐靠近，碰撞计算需要先回答三个几何问题：沿哪个方向最接近、两个表面点在哪里、它们之间还相隔多远。球体的对称性让这三个量都能从球心连线读出，适合用来建立接触记录的含义。

设两个球的中心分别为 \boldsymbol c_A,\boldsymbol c_B，半径为 r_A,r_B。两个中心之间的连线同时给出了最近表面的方向。令中心距为 l=\|\boldsymbol c_B-\boldsymbol c_A\|>0，便有

沿中心连线取得两个表面点：

它们称为一对见证点。将两式相减，恰好得到 \boldsymbol p_B-\boldsymbol p_A=d\boldsymbol n。分离时，这一线段跨越间隙；穿透时，两个表面点的先后次序交换，带符号的关系仍然成立。中心重合时，球的对称性使法线有多个同样有效的选择，程序需要选定一个方向。

后一式取见证点的中点作为接触位置。一般凸体的查询也采用这一组数据：有符号距离、法线、见证点和中点。在数值迭代尚未收敛时，它们构成近似结果，同时保留距离上下界和终止原因。

从形体集合到一对凸体

场景中有很多几何体时，先通过包围体和空间层次结构筛出距离可能较近的形体对，再对每一对运行精确查询。这两步分别称为宽相位与窄相位。轴对齐包围盒的一维区间在三个世界坐标轴上都重叠时，两个包围盒相交；宽相位据此排除大量形体对。

在空间中转动球心连线，同时比较分离、相切与穿透三个状态。两个表面点各自固定在沿法线选出的球面位置上，带符号距离记录它们的相对次序。

默认半径之和为 1.2\,\mathrm m。球心距为 1.7\,\mathrm m 时，间隙为 0.5\,\mathrm m；减小到 0.9\,\mathrm m 时，有符号距离为 -0.3\,\mathrm m。穿透状态下，甲的表面点越过乙的表面点，式（10.2）由这个顺序变化自然保留负号。

窄相位按形状选择算法。球—平面、球—球等组合有简短的解析计算；一般凸体可以统一使用支持映射。凹形物体可先分成若干凸块，分别查询后汇集接触。MuJoCo 的碰撞分派表 mjCOLLISIONFUNC、网格凸壳与高度场专用路径，体现了这种按几何结构组织计算的方法。

一个面状接触区域可能需要多个接触点共同支撑。距离查询给出一对见证点，接触生成还可以围绕该特征补充多个点，并合并位置过近的记录。后文的单次 GJK/EPA 推导描述其中一对见证点。

球的最近方向由球心连线给出，长方体或凸网格则会随姿态改变最近的面、边或顶点。可以先解决一个更局部的问题：给定一个方向，形体在哪一点沿这个方向伸得最远？想象一张垂直于查询方向的平面从外侧靠近形体，它首次接触的点就是支持点。

一个支持点由当前形状和查询方向确定。形状从局部坐标放到世界坐标时，仍采用第二章的旋转与平移关系；查询方向要先转回局部坐标，求点后再转回世界坐标。

沿给定方向观察一个凸体，投影最远的点构成该方向的支持特征。给定非零查询向量 \boldsymbol u，定义支持点与支持函数：

支持点是向量，支持函数是标量。同一方向可能对应一条边或整个面，其中任何一个最大投影点都可作为支持点。若查询方向归一化为单位向量，支持函数就是支持平面到原点的带符号距离：

球与有向盒

中心为 \boldsymbol c、半径为 r 的球，沿方向的支持点为

有向盒的中心为 \boldsymbol c，半边长为 (h_1,h_2,h_3)，姿态矩阵 R 将盒内局部坐标转成世界坐标。先把方向转到局部系，再按每个分量的正负选择顶点：

盒的三个局部坐标分别取区间端点，就能同时达到最大投影。每条边对支持函数的贡献是半边长乘以相应方向分量的绝对值。

盒的顶点沿查询方向怎样切换，可以从支持函数的转折处看出来。圆以原点为中心时，单位方向上的支持距离恒等于半径；旋转矩形的支持距离则是两个绝对值项之和。下面把几何支持直线与同一个函数的曲线并列观察。

支持顶点跳到相邻顶点时，支持平面仍连续移动，支持函数通常保持连续而出现斜率变化。GJK 只需要最大投影值和一个达到它的支持点，因此可以直接处理这种形状特征的切换。

有限顶点凸多面体可以遍历顶点求最大内积；带邻接信息的网格还可以从上一顶点沿邻边搜索。支持映射将这些形状细节留在一个接口内，后续距离算法只需反复提供查询方向。

三维支持查询把直线换成平面。下面沿两个角度改变查询方向，同时转动盒体，观察支持特征怎样在顶点、边和面之间切换。

当某个局部方向分量经过零时，相应角点坐标会从一端切换到另一端。恰好为零的瞬间，该方向上的整条边或整个面具有相同投影；支持接口只需返回其中一个最大点。

直接寻找两个表面的最近点，需要同时移动两侧候选点。把每一对点的差看成一个新点后，两个变量可以合成一个几何对象：距离变成新集合到原点的距离，重叠则变成原点是否在集合内部。

为了统一处理两个形体，把它们的所有点差组成一个集合：

这个集合称为闵可夫斯基差（Minkowski difference）。两个凸体的点对可以取凸组合，因此它们的差仍为凸集。两形体共有一点，等价于某对点差为零；分离时的表面距离，则等价于差集到原点的距离：

d_* 是非负距离；相交时等于零，穿透深度需要进一步研究差集的边界。对盒子可以显式构造所有顶点差，但对一般形状，直接查询差集的支持点更方便。

查询差集的支持点，可以分别在两个形体上查询相反的方向，再将结果相减。原形体的支持接口因此能够直接用于差集，差集的凸性也由原形体的凸性保留。

差集的最近点只有一个三维位置，但接触还需要知道它来自两个物体上的哪里。因此每次支持查询都同时记录原形体的两个点。后续所有线段、三角面和四面体计算都沿用这份来源信息，才能把距离结果转换为接触点。

保留每个差点的来源

一次支持查询保存三组向量：\boldsymbol a_i=s_A(\boldsymbol u_i)、\boldsymbol b_i=s_B(-\boldsymbol u_i) 以及 \boldsymbol w_i=\boldsymbol a_i-\boldsymbol b_i。后续计算得到差集中的凸组合时，同一组权重可以分别作用于原形体：

将差点定义代入，就有 \boldsymbol x=\boldsymbol p_A-\boldsymbol p_B。凸性保证两个恢复点仍属于各自形体。迭代收敛后，得到最近表面上的见证点；沿途的组合点则用于观察近似的改进。

分离时，差点由 B 指向 A，所以法线要取 \boldsymbol n=-\boldsymbol x/\|\boldsymbol x\|。这一负号来自差集采用 A-B 的定义。交换形体顺序后，距离保持相同，见证点交换，唯一的接触法线反向。

区间差与有符号距离

先在数轴上核对差集的含义。取 A=[-1,1]\,\mathrm m、B=[3,4]\,\mathrm m。所有两点之差中，最小值来自甲的左端减乙的右端，最大值来自甲的右端减乙的左端：

原点在差集之外，最近点为 -2\,\mathrm m。对应见证点为 p_A=1\,\mathrm m,p_B=3\,\mathrm m，法线朝右、距离为正，因此 p_B-p_A=2=dn。

再取 A=[-1,2]\,\mathrm m、B=[1,4]\,\mathrm m，差集变成 [-5,1]\,\mathrm m，包含原点。此时分开区间所需的最小平移由最近边界给出：向右移动乙区间一米即可相切。见证点为 p_A=2\,\mathrm m,p_B=1\,\mathrm m，故 n=1,d=-1\,\mathrm m，仍满足 p_B-p_A=dn。

区间的最近边界只有两个候选，可以直接比较。三维凸体的边界包含许多面、边和顶点，后面用单纯形逐步确定距离，用多面体边界逐步确定穿透深度；有符号距离与见证点之间仍采用式（10.2）的关系。

二维空间中的点、线段、三角形，三维空间中的点、线段、三角形、四面体，统称为单纯形。给定少量支持点，先在它们组成的单纯形上求离原点最近的点，再决定下一次查询的方向。下面从线段开始建立这一计算。

线段投影与端点分支

线段端点为 \boldsymbol a,\boldsymbol b，令 \boldsymbol e=\boldsymbol b-\boldsymbol a。线上一点为 \boldsymbol x(t)=\boldsymbol a+t\boldsymbol e，线段对应 0\le t\le1。最近点参数为

三角形的平面投影

取三角形顶点 \boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c，令 \boldsymbol e=\boldsymbol b-\boldsymbol a、\boldsymbol f=\boldsymbol c-\boldsymbol a。平面内的点写为 \boldsymbol x=\boldsymbol a+u\boldsymbol e+v\boldsymbol f。最近的平面投影应同时垂直于两条边方向，因此有 \boldsymbol e^{\mathsf T}\boldsymbol x=0、\boldsymbol f^{\mathsf T}\boldsymbol x=0。将点的表达代入，就得到关于两个参数的线性方程。其系数均为边向量的内积，组成 Gram 矩阵：

先解两个平面参数，再把它们转为三个顶点的权重：

三项权重都非负时，投影落在三角形内，就是最近点。出现负权重时，最近点位于边界：分别求三条线段的最近点，比较平方距离，保留最小者。共线的三个顶点也走线段分支。

三点不共线时，重心权描述最近点落在三角形的哪一部分：三个正权重对应面内，两项非零对应边，一项为一对应顶点。三点共线后，同一点可能有多组权重，所在特征应按实际线段凸包判断。原点之外的查询点可以通过整体平移转成同一个计算问题。

跨越分支边界时，最近点连续移动，某些权重逐渐变为零。保留有贡献的顶点，既保存了当前最近点，也缩小了下一轮 GJK 需要处理的单纯形。

三维四面体

对四面体顶点 \boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c,\boldsymbol d，先判断原点能否写成非负重心组合。令

矩阵可逆且四项权重非负时，原点就在四面体内，最近距离为零。否则分别求四个三角形面的最近点，比较后保留最小者。四点共面时也通过这些面退化到三角形、线段或顶点。

四面体比三角形增加了一个内部区域。查询点进入内部后，距离降为零；在外部时，最近点依次可能落在三角面、棱或顶点。下面的体积图将四项权重与这些区域对应起来，并允许把四面体压成一个平面凸包。

外部查询最终都会归结到三角面及其边界。四点共面后，体积方程失去可逆性，逐面和逐边比较仍能找到实际凸包的最近点，这正是降维分支的用途。

Gilbert–Johnson–Keerthi 距离算法（GJK）从少量差集支持点开始，在当前单纯形上求最近点，再向原点一侧寻找新的支持点。每轮只保留对最近点有贡献的顶点，因而三维计算始终围绕至多四个顶点展开。决定下一方向的几何关系如下：

S 为当前支持点的凸包。沿 -\boldsymbol x 的支持查询寻找最靠近原点一侧的边界。新点与旧单纯形形成更大的凸包，再求最近点后，距离上界只能保持或减小。

距离上下界

当前点属于差集，所以它的长度提供上界。支持查询又给出了整个差集在当前方向上的最小投影，由此得到下界：

只判断是否相交时，L>0 已经证明分离。需要精确距离时，则继续迭代，直到 U-L\le\varepsilon，其中 \varepsilon 的单位为长度。若只关心某个查询范围内的距离，L 已超过该范围时也可提前返回。

例如当前区间为 [0.3,0.8]\,\mathrm m，分离已经得到证明，但距离估计仍可能相差半米。继续查询到 [0.499,0.501]\,\mathrm m 后，采用上界报告距离时误差才被限制在 0.002\,\mathrm m 内。相交判断和距离查询由此可以使用不同的停止标准。

平方距离的收敛间隙

MuJoCo 的原生 GJK 还使用平方距离目标 f(\boldsymbol x)=\|\boldsymbol x\|^2/2 的凸优化间隙。令

G 的单位是长度平方。它对目标误差和距离误差分别给出

完整迭代顺序

1. 取一个非零初始方向，查询并保存支持点及其两个来源。
2. 求当前单纯形到原点的最近点和重心权，移除零权重顶点。
3. 若最近距离已小于接触容差，转入接近接触或穿透的处理。
4. 沿最近点的反方向查询新支持点，更新距离下界；检查距离区间或平方间隙。
5. 尚未收敛时，将新支持点加入单纯形，返回第二步。

实现还要处理重复支持点、最近点停滞、降维和迭代次数上限。达到数值容差的结果可标记为收敛；重复点导致区间仍过宽时，应保留“停滞”状态与现有界限。原点距离进入容差只表示几何上已非常接近，穿透深度还由下一步检查。接触法线在棱角、对称形体或零距离处可能有多个有效选择。

一个新的支持点能把当前距离缩小多少，要同时查看当前单纯形和支持平面。下面每步保存同一轮的最近点、下一支持点与距离界；切换到原形体时，同一组重心权恢复出两侧见证点。

例如将两盒转角和位置保持在初始值，图中从旧最近点 x_k 出发，先沿 -x_k 查询支持点 s_k，再求 \operatorname{conv}(S_k\cup\{s_k\}) 上的最近点。若新最近点位于一条边上，就按式（10.8）计算两个权重；上界更新为这条投影线段的长度，下界更新为式（10.11）的支持平面投影。动画的一次推进对应这一整次几何更新。

距离上界来自已经找到的一对可行点，下界来自整张支持平面。两者接近时，算法既有一对近似最近点，也有一个限制剩余误差的几何证据。原点进入当前凸包后，非负距离已降到零，下一步转而求边界的穿透深度。

三维中，单纯形还可能成为具有体积的四面体。下面的旋转盒体与四面体具有不同的面法线，支持点带有三个坐标；逐步比较当前最近点、支持平面和由重心权恢复的见证点。

最近点落在面上时，用三个权重组合支持点；原点进入四面体内部时，用四个非负权重重建原点，距离达到零。边和顶点情形继续使用前面的低维公式，因此同一算法会在不同维数的几何特征之间切换。

两个凸体发生正深度穿透时，原点位于差集内部。为了将 B 沿向量 \boldsymbol t 平移到刚好分离，差集随之变成 D-\boldsymbol t。原点落在新差集边界，等价于 \boldsymbol t 落在原差集边界。因此最短分离平移的长度为

扩张多面体算法（Expanding Polytope Algorithm，EPA）从一个包含原点的内接凸多面体开始，不断沿最近边界的外法线补充支持点，使该内接多面体逼近真实边界。二维对应多边形，三维对应由三角面连接起来的多面体。

GJK 在相交时的目标已经达到零，内部最近点无法继续描述穿透有多深。EPA 改为寻找包围原点的边界：把第二个形体沿最近边界点平移，就能使原点退出差集内部。这个目标变化解释了两种算法为何连续使用，却分别需要最近点和最近面。

初始多面体

GJK 结束时可能只留下穿过原点的线段或三角形。二维可以沿线段的两个垂直方向补充支持点；三维则沿三角形的正、负法线扩展，再建立包围原点的凸壳。初始多面体需要有完整维数，并检查原点位于各面内侧。若几何本身只在一点、边或面上接触，则穿透深度为零；近共面面片和重复顶点需要在建壳过程中处理。

最近面与深度上下界

设当前内接多面体为 P\subset D，原点在其内部。选离原点最近的面，单位外法线为 \boldsymbol n，面到原点的距离为 L>0。沿这个方向查询真实支持点：

当 U-L\le\varepsilon 时，穿透深度的误差被夹在长度容差内。新支持点加入后，内接多面体扩大，下界逐渐提高。每次查询给出的上界都有效，还可保留历史上界的最小值。MuJoCo 使用这一历史最小值；本章二维程序显示本次查询的上界，便于与当前支持直线对应。

可见面与地平线

在三维中，一个三角面的单位外法线由有向边叉积求得：

顶点绕序应使原点在内侧，即 l\ge0。新支持点 \boldsymbol s 若满足 \boldsymbol n^{\mathsf T}(\boldsymbol s-\boldsymbol a)>0，就在该面的外侧，这个面称为从新点可见的面。

扩张时，可见面被替换为新支持点与地平线围成的一圈三角面。更新保持凸包封闭，并保留朝外的法线和相邻面之间一致的边绕序；这些几何条件使下一轮的距离界继续有效。

穿透见证点与法线方向

最近面的投影点由三个顶点的重心权表示，按式（10.7）恢复原形体中的点。由于投影位于外法线方向，

因此 EPA 的面外法线直接对应本章从 A 指向 B 的接触法线，沿它移动 B 可以解除穿透。与第五节的分离状态相比，差点归一化时的符号随有符号距离一起改变。见证点相同或深度为零时，可延用最近有效方向，或由几何特征确定方向。

将旋转矩形与凸五边形交叠，支持点会随查询方向切换到不同顶点。GJK 先找到包含原点的单纯形；EPA 在这个结果上补充边界点，逐步找到差集最近的边。原形体视图中的见证点随所选最近边同步改变。

一次扩张先从当前最近边取得单位外法线 n，再从两个多边形的顶点投影中取得 s_D(n)，计算上界 U=n^{\mathsf T}s_D(n)。加入新点后重建边界，重新选择最近边得到下一轮的 L。当新支持点已经位于当前支持边上时，这一方向的两条界线重合，扩张可以结束。

当上下界收紧，所选边逐渐贴近真实边界，恢复出的点差也逐渐接近 \delta n。把深度取负后，接触法线和见证点便与分离状态共用 p_B-p_A=dn 这一带符号关系。

把平面截面扩展到空间后，EPA 的边界由三角面组成。新支持点能够看到哪些旧面，就需要删除哪些面；可见区域的边界留下一个有向边环，将它与新点连接便形成新的封闭表面。

本实验先运行同一对凸体的 GJK，再从包含原点的四面体建立 EPA 边界；若 GJK 只留下低维单纯形，则补充支持方向构造具有体积的初始凸包。每一步的橙色最近面给出深度下界，沿其外法线的真实支持平面给出上界。旋转视角可以看到新点与面之间的前后关系；切换到原形体时，同一组三角形重心权恢复两侧见证点。

距离和法线确定后，还需要两个互相垂直的切向，以描述摩擦和接触速度。先从世界三个坐标轴中选出与法线最不平行的一根轴 \boldsymbol e，将它投影到切平面并归一化：

第一步去掉轴在法线上的分量，第二步只改变剩余向量的长度，第三步确定右手方向。把三根单位轴按行排成矩阵：

C 的三行依次是法向、第一切向和第二切向；它把世界向量转到接触坐标。选择最不平行的轴，可以让归一化前的投影长度远离零。切向基在轴选择改变时可能切换，所表示的切平面保持相同。

接触标架是一个右手正交基。世界速度乘以 C 得到接触分量，接触力乘以 C^{\mathsf T} 返回世界分量；变换前后，力与相对速度的内积保持相同。

固定朝向球的接触速度

对两个刚体，应在选定接触位置计算各自点速度，再取 \boldsymbol v=\boldsymbol v_B-\boldsymbol v_A。法向速度 v_n=\boldsymbol n^{\mathsf T}\boldsymbol v 为正时，间隙正在增大。本章贯穿例中的球保持姿态固定、仅质心平移；静止地面的点速度为零，所以相对速度就是球的平移速度。

球以 0.1\,\mathrm{m/s} 向地面靠近，同时沿第一切向运动。下一章将把刚体点速度写成广义速度的线性映射，从这里得到接触雅可比。

碰撞记录可以在形体表面仍有间隙时建立。这样便能在进入激活区间之前保留附近的接触几何。这里把两几何参数混合后得到的 margin 记为 m_c，把 gap 记为 g_c。对本章球—平面查询，本地 MuJoCo 3.10.0 的规则是

d 描述真实形体间的有符号距离，r_n 描述相对激活边界的位置误差。两者相差一个固定偏移，后面的参考加速度与软接触模型将使用后者。刚好位于 d=m_c 的记录被排除在约束之外；球—平面解析查询在候选边界上保留等号。

接触数据要从几何量转成交给动力学的坐标与位置误差。下面同时保留真实表面、候选外边界与激活边界：球体尚有正间隙时，也可能已经进入约束；接触三轴则决定随后各行速度和力的正方向。

几何距离决定当前表面关系，减去激活边界才得到恢复误差。下一章将沿这里的法线和两个切向投影相对点速度，把同一条接触记录写成约束雅可比的各行。

从支持点到接触数组

本地 engine_collision_convex.c 的 mjc_sphereSupport 与 mjc_boxSupport 对应第二节的支持映射。盒的实现先用姿态矩阵转置变换查询方向，再选局部角点；零方向分量选正端点。原生支持接口接收单位方向，所以球的代码直接把半径乘以方向。

engine_collision_gjk.c 中，Vertex 同时保存 vert、vert1 和 vert2，分别对应差点及两个来源。gjkSupport 沿当前最近点的反方向查询；subdistance 根据顶点数分派最近单纯形计算，再按重心权缩减顶点。平滑支持形体的平方间隙阈值为 \varepsilon^2/2；离散形体使用精确顶点查询，并配合重复点和停滞判断。

同一文件中的 epa 选择最近面、更新历史上界并调用 horizon 扩张；epaWitness 通过三角面的仿射坐标恢复见证点。刚体凸体的查询范围还可通过支持点膨胀加入几何计算：双方各加半个查询范围，差集总共扩大一个查询范围。凸体包装函数再把该偏移加回距离，恢复真实形体的 dist，并取两见证点中点作为 pos。沿原法线对称膨胀保持中点相同。

球—平面的专用路径位于 engine_collision_primitive.c 的 mjraw_PlaneSphere。代码直接计算球心到平面的距离减半径，并使用 \boldsymbol c_B-(r+d/2)\boldsymbol n 得到接触中点，与第一节的见证点平均完全一致。

engine_collision_driver.c 的窄相位调用将 margin + gap 传给几何查询；随后 mj_setContact 写入 includemargin = margin，并以 dist >= includemargin 设置 exclude。mju_makeFrame 补全接触三轴。每个 contact.frame 按行保存法向、第一切向和第二切向，共九个数；算法选出的切向基可以与本章构造不同，读数与力的坐标变换使用实际存储的这组基。

接触记录还包含形体编号、摩擦、软约束参数及 efc_address。最后一项把接触连接到求解器约束行。完整碰撞概述可参照 本地计算文档 的 Collision detection，以及 官方计算文档；参数边界以上述本地版本的调用与字段赋值为依据。

三维实验使用本地 collision3d-math.js：支持点携带两侧见证点，最近单纯形通过候选特征和重心权计算，EPA 保存三角面与可见边界。阅读时可先跟随下列二维 Python 程序核对每步代数，再对照三维模块中的同名操作。

collision2d.py 将支持映射、最近单纯形、GJK、EPA 和见证点恢复组成一个仅使用 Python 标准库的二维模块。形状可以是凸多边形或解析圆。box(center, half, angle) 用中心、半边长和逆时针弧度建立旋转矩形；query(a, b) 返回带符号距离、法线、两个见证点、界限、迭代记录和终止状态。

from collision2d import box, query

a = box((0, 0), (1, 1))
b = box((1.5, 0), (1, 1))
result = query(a, b)
print(result["status"])           # converged
print(result["signed_distance"])  # -0.5
print(result["normal"])           # (1.0, 0.0)
print(result["lower"], result["upper"])  # 深度区间 [0.5, 0.5]

gjk 的 lower/upper 表示非负分离距离的界；epa 的同名字段表示非负穿透深度的界。query 用 algorithm 标明采用的阶段，并另给出 signed_distance。状态 converged 表示区间达到容差，stalled 表示支持点重复而区间仍未充分收紧，iteration_limit 表示达到迭代上限。gjk 单独返回的 near_origin 继续交由 EPA 检查；低维接触可返回 degenerate。调用方据此决定接受近似、调整容差或采用几何特例。

程序中的绝对距离容差默认是 10^{-9} 个长度单位，角度用弧度。几何尺度变化时，绝对容差也应按所需精度调整。最近三角形用相对面积判断退化；二维 EPA 每次重建凸包，使删除可见边链的结果容易检查。三维扩展沿用相同支持点结构和界限，替换为第四节的四面体距离计算及第六节的面邻接更新。

check_collision2d.py 使用解析线段、独立的多边形分离轴、逐边距离以及圆的公式核对结果。运行时从本章所在目录执行：

python3 examples/check_collision2d.py

检查同时覆盖包含关系、刚好接触、重复顶点、共线退化、形体顺序交换、共同平移、尺度变化与迭代上限。每次查询还可检查两个不变量：重心权非负且和为一，见证点差与带符号距离乘法线相符。

from collision2d import plane_circle

for z in (0.230, 0.222, 0.215, 0.190):
    c = plane_circle((0, z), 0.2, margin=0.02, gap=0.005)
    print(z, round(c["signed_distance"], 3),
          round(c["residual"], 3), c["candidate"], c["active"])